TikZ:高校数学:四角形の面積

こんにちは。今回は普通の四角形の面積に関してです。4辺と1つの内角が分かっているときを書いておきます。

例題をやってみよう

AB=5, BC=6, CD=3, DA=4, \cos A=\dfrac{7}{20}の四角形ABCDがあります。このとき, 次のものを求めよ。
(1) \sin Aの値
(2) BDの長さ
(3) 四角形ABCDの面積S

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【解説】
(1) \cos Aの値を\sin^2 A+\cos^2 A=1に代入すると,
\sin^2 A+\left(\dfrac{7}{20}\right)^2=1
\sin^2 A=1-\dfrac{49}{20^2}
=\dfrac{351}{20^2}
\sin A>0より,
\sin A=\dfrac{3\sqrt{19}}{20}
(2) △ABDで余弦定理を用いると,
BD^2=5^2+4^2-2\cdot5\cdot4\cdot\cos A
=25+16-2\cdot5\cdot4\cdot\dfrac{7}{20}
=27
BD>0なので,
BD=3\sqrt3
(3) 四角形ABCD(S)=△ABD(T)+△BCD(U)として求める。
△ABDの面積T
T=\dfrac12\cdot5\cdot4\cdot\sin A
=\dfrac12\cdot5\cdot4\cdot\dfrac{3\sqrt{19}}{20}
より,
T=\dfrac{3\sqrt{19}}{2}
△BCDは余弦定理で\cos Cの値を求めると,
\cos C=\dfrac{6^2+3^2-(3\sqrt3)^2}{2\cdot6\cdot3}
から,
\cos C=\dfrac12
よって
C=60^{\circ}
したがって, △BCDの面積Uは,
U=\dfrac12\cdot6\cdot3\cdot\sin60^{\circ}
より,
U=\dfrac{9\sqrt3}{2}
以上より, 求める四角形ABCDの面積Sは,
S=T+U
S=\dfrac{3\sqrt{19}}{2}+\dfrac{9\sqrt3}{2}
となります。

流れをつかんでおこう
  1. 四角形の内角が1つ分かっているときは, その角と向かい合う対角線で四角形を三角形2つに分割して考える。誘導があればそれに乗っかるとよい。
  2. 1つの三角形の面積は, 分かっている角の\sin\thetaの値を求めることで, 2辺とその間の角で, 三角形の面積を求める。
  3. もう1つの三角形は前途した角で余弦定理を用いて対角線の長さを求め, 3辺が分かったところで, 余弦定理で,\cos\thetaの値を求め, それから, \sin\thetaを求めることで, 同様に2辺とその間の角に持ち込んで, 三角形の面積を求める。
  4. 四角形の面積は, 上の2つの三角形の面積の和として求める。

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