TikZ:高校数学:円に内接する四角形(1つの内角が分かっているとき)

こんにちは。相城です。今回は円に内接する四角形の問題に取り組んでみたいと思います。四角形の1つの内角が分かる場合をやってみましょう。

例題をやってみよう

円に内接する四角形で, AB=2, BC=5, CD=3, C=60^{\circ}のとき, 次のものを求めよ。
(1) Aの大きさ
(2) BDの長さ
(3) 四角形ABCDの面積S

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【解説】
(1) 円に内接する四角形の対角の和は180^{\circ}なので, A=120^{\circ}
(2) △BCDに余弦定理を用いると,
BD^2=5^2+3^2-2\cdot5\cdot3\cdot\cos60^{\circ}
=25+9-2\cdot5\cdot3\cdot\dfrac12
=19
a>0なので,
BD=\sqrt{19}
(3) 四角形の面積は2つの三角形の面積の和として考えることが多い。
今回も, 四角形ABCDは△ABD+△BCDで求める。
三角形の面積を求めるためには, 2辺とその間のその間の角が求まればよいので, (2)の結果を用いて, △ABDで余弦定理を用いて, ADを求める。
AD=bとおくと,
\sqrt{19}^2=2^2+b^2-2\cdot2\cdot b \cos120^{\circ}
19=4+b^2-2\cdot2\cdot b \left(-\dfrac12\right)
19=4+b^2+2b
b^2+2b-15=0
(b+5)(b-3)=0
b>0より,
b=3
よって, AD=3
したがって, △ABD, △BCDの面積は次のようになります。
△ABD=\dfrac12\cdot2\cdot3\sin120^{\circ}=\dfrac{3\sqrt3}{2}
△BCD=\dfrac12\cdot5\cdot3\sin60^{\circ}=\dfrac{15\sqrt3}{4}
よって, 四角形ABCDの面積Sは,
S=\dfrac{3\sqrt3}{2}+\dfrac{15\sqrt3}{4}=\dfrac{21\sqrt3}{4}

流れをつかんでおこう
  1. 角の大きさが分かる場合は, 余弦定理で他の辺を求めて2辺とその間が分かるように導いていく。
  2. 四角形の面積は2つの三角形の面積の和と考え, 三角形の面積を\dfrac12ab\sin\thetaで求めて, 加える。



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