TikZ：高校数学：円に内接する四角形(4辺が分かるとき)

こんにちは。相城です。今回は円に内接する四角形で, 四角形の4つの辺が分かるときを題材にやってみましょう。

例題をやってみよう

円に内接する四角形で, AB $=$ 2, BC $=$ 5, CD $=$ 3, DA $=$ 3のとき, 次のものを求めよ。
(1) $\cos B$ の値
(2) $\sin B$ の値
(3) 四角形ABCDの面積 $S$

解説と解答

【解説】
対角線ACを求めるための余弦定理を△ABCと△ADCでそれぞれ用意します。
△ABCで
AC $^2=2^2+5^2-2\cdot2\cdot5\cdot\cos B$
より,
AC $^2=29-20\cos B\cdots\textcircled{\scriptsize1}$
△ADCで
AC $^2=3^2+3^2-2\cdot3\cdot3\cdot\cos(180-B)$
より,
AC $^2=18+18\cos B\cdots\textcircled{\scriptsize2}$
$\textcircled{\scriptsize1}=\textcircled{\scriptsize2}$ なので,
$29-20\cos B=18+18\cos B$
$\cos B=\dfrac{11}{38}$
(2) (1)で求めた $\cos B$ の値を $\sin^2 B+\cos^2 B=1$ に代入すると,
$\sin^2 B+\left(\dfrac{11}{38}\right)^2=1$
$\sin^2 B=1-\left(\dfrac{11}{38}\right)^2$
$=\dfrac{1444}{38^2}-\dfrac{121}{38^2}$
$=\dfrac{1323}{38^2}$
$\sin B>0$ より,
$\sin B=\dfrac{21\sqrt3}{38}$
(3) 四角形ABCD $=$ △ABC $+$ △ADCとして考える。
△ABCの面積 $T$ は
$T=\dfrac12\cdot\text{AB}\cdot\text{BC}\sin B$
$=\dfrac12\cdot2\cdot5\cdot\dfrac{21\sqrt3}{38}$
より,
$T=\dfrac{105\sqrt3}{38}$
△ADCの面積 $U$ は
$U=\dfrac12\cdot\text{DA}\cdot\text{CD}\cdot\sin(180^{\circ}-B)$
$=\dfrac12\cdot\text{DA}\cdot\text{CD}\cdot\sin B$
$=\dfrac12\cdot3\cdot3\cdot\dfrac{21\sqrt3}{38}$
より,
$U=\dfrac{189\sqrt3}{76}$
$S=T+U=\dfrac{105\sqrt3}{38}+\dfrac{189\sqrt3}{76}=\dfrac{21\sqrt3}{4}$
よって, 求める面積は
$S=\dfrac{21\sqrt3}{4}$

因みに初めの段階で, 対角線BDで余弦定理を用いると, この図形の場合, 計算が楽なのですが, 今回その選択はしておりません。

流れをつかんでおこう

4つの辺が分かっていて, 角が分からない場合は, 対角線で分けた2つの三角形でそれぞれ余弦定理を用いて等式をつくり, $\cos\theta$ の値を求める。このとき, $\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta$ であることに注意する。求めた $\cos\theta$ の値を $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ に代入し, $\sin\theta$ の値を求める。ちなみに, 円に内接する場合は対角の和が $180^{\circ}$ なので, 対角同士の $\sin\theta$ の値は同じになります。
$\sin\theta$ の値が求まれば,三角形の面積の公式 $S=\dfrac12 ab\sin\theta$ を用いて, 2つの三角形の面積の和として四角形の面積を求める。