TikZ:高校数学:円に内接する四角形(4辺が分かるとき)

こんにちは。相城です。今回は円に内接する四角形で, 四角形の4つの辺が分かるときを題材にやってみましょう。

例題をやってみよう

円に内接する四角形で, AB=2, BC=5, CD=3, DA=3のとき, 次のものを求めよ。
(1) \cos Bの値
(2) \sin Bの値
(3) 四角形ABCDの面積S

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【解説】
対角線ACを求めるための余弦定理を△ABCと△ADCでそれぞれ用意します。
△ABCで
AC^2=2^2+5^2-2\cdot2\cdot5\cdot\cos B
より,
AC^2=29-20\cos B\cdots\textcircled{\scriptsize1}
△ADCで
AC^2=3^2+3^2-2\cdot3\cdot3\cdot\cos(180-B)
より,
AC^2=18+18\cos B\cdots\textcircled{\scriptsize2}
\textcircled{\scriptsize1}=\textcircled{\scriptsize2}なので,
29-20\cos B=18+18\cos B
\cos B=\dfrac{11}{38}
(2) (1)で求めた\cos Bの値を\sin^2 B+\cos^2 B=1に代入すると,
\sin^2 B+\left(\dfrac{11}{38}\right)^2=1
\sin^2 B=1-\left(\dfrac{11}{38}\right)^2
=\dfrac{1444}{38^2}-\dfrac{121}{38^2}
=\dfrac{1323}{38^2}
\sin B>0より,
\sin B=\dfrac{21\sqrt3}{38}
(3) 四角形ABCD=△ABC+△ADCとして考える。
△ABCの面積T
T=\dfrac12\cdot\text{AB}\cdot\text{BC}\sin B
=\dfrac12\cdot2\cdot5\cdot\dfrac{21\sqrt3}{38}
より,
T=\dfrac{105\sqrt3}{38}
△ADCの面積U
U=\dfrac12\cdot\text{DA}\cdot\text{CD}\cdot\sin(180^{\circ}-B)
=\dfrac12\cdot\text{DA}\cdot\text{CD}\cdot\sin B
=\dfrac12\cdot3\cdot3\cdot\dfrac{21\sqrt3}{38}
より,
U=\dfrac{189\sqrt3}{76}
S=T+U=\dfrac{105\sqrt3}{38}+\dfrac{189\sqrt3}{76}=\dfrac{21\sqrt3}{4}
よって, 求める面積は
S=\dfrac{21\sqrt3}{4}

因みに初めの段階で, 対角線BDで余弦定理を用いると, この図形の場合, 計算が楽なのですが, 今回その選択はしておりません。

流れをつかんでおこう
  1. 4つの辺が分かっていて, 角が分からない場合は, 対角線で分けた2つの三角形でそれぞれ余弦定理を用いて等式をつくり, \cos\thetaの値を求める。このとき, \cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\thetaであることに注意する。求めた\cos\thetaの値を\sin^2\theta+\cos^2\theta=1に代入し, \sin\thetaの値を求める。ちなみに, 円に内接する場合は対角の和が180^{\circ}なので, 対角同士の\sin\thetaの値は同じになります。
  2. \sin\thetaの値が求まれば,三角形の面積の公式S=\dfrac12 ab\sin\thetaを用いて, 2つの三角形の面積の和として四角形の面積を求める。

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