TikZ:高校数学:内角の二等分線の比

こんにちは。相城です。今回は三角形の内角の二等分線の比について書いておきます。

内角の二等分線の比の公式

内角の二等分線の比の公式
三角形の\angle Aの二等分線AIの延長線と辺BCが交わる点をDとすると, 次の公式が成り立ちます。
AB : AC = BD : DC

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証明はこちら

例題をやってみよう

実際問題をやってみよう。
下の図の△ABCにおいて内心をIとし, AIの延長線と辺BCとの交点をDとする。このとき, BDの長さと, AI : IDの比を求めなさい。

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【解説】
内心Iは三角形の内角の二等分線の交点なので, 直線AIは\angle Aを二等分する。
したがって,
AB : AC = BD : DC成り立つ。
AB : AC = 8 : 5なので
BD : DC = 8 : 5
よって,
BD=\dfrac{8}{8+5}\times7=\dfrac{56}{13}
BIもまた, \angle{B}の二等分線なので,
AI : ID = AB : BDが成り立つので,
AI : ID = 8 : \dfrac{56}{13} = 13 : 7
よって, BD =\dfrac{56}{13}, AI : ID = 13 : 7

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公式にしてみよう

公式化してみよう
AI : IDを公式化してみよう。Iは△ABCの内心, DはAIの延長線とBCとの交点

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BD : DC = c : b
なので, BD=a\times\dfrac{c}{b+c}より,
BD=\dfrac{ac}{b+c}
AI : ID = AB : BDなので,
AI : ID = c : \dfrac{ac}{b+c}
b+cをかけて, cで割ると,
AI : ID = (b+c) : a
という公式が得られます。
実際上の例題で,
AI : ID= (8+5) : 7 = 13 : 7
となります。

AI : IDの公式
△ABC(BC=a, CA=b, AB=c)の内心をIとし, 線分AIの延長線と辺BCとの交点をDとするとき,
AI : ID= (b+c) : a

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