高校数学:三角比の相互関係③180°-θの三角比

こんにちは。相城です。今回は三角比において\thetaの部分が180^{\circ}-\thetaになった場合, どのような関係になるか見ていきましょう。

180°-θの三角比

結論から書いておきます。

180°ーθの三角比
\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta
\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta
\tan(180^{\circ}-\theta)=-\tan\theta

180°-θの三角比のなぜ

斜辺r,対辺(高さ)y, 隣辺(底辺)xとし, 斜辺と隣辺(底辺)のなす角を\thetaとする。

この直角三角形をxy平面上に隣辺(底辺)がx軸と接し, \thetaを持つ頂点が原点と重なるようにように設置する。
このとき, 原点を中心とし, 半径rの円を描くと図のようになり, 円と三角形が接してできる点の座標は(x, y)となります。
また, 180^{\circ}-\thetaは先の直角三角形をy軸について対称に配置してできる図中の赤い色の角になります。このとき, y軸について対称移動した三角形と円が接してできる座標は図より(-x, y)となります。

\theta, 180^{\circ}-\thetaにおいて, それぞれ\sin, \cos, \tanを求めると,
\sin\theta=\dfrac{y}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize1}
\cos\theta=\dfrac{x}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize2}
\tan\theta=\dfrac{y}{x}\cdots\textcircled{\scriptsize3}
\sin\left(180^{\circ}-\theta\right)=\dfrac{y}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize4}
\cos\left(180^{\circ}-\theta\right)=-\dfrac{x}{r}\cdots\textcircled{\scriptsize5}
\tan\left(180^{\circ}-\theta\right)=-\dfrac{y}{x}\cdots\textcircled{\scriptsize6}
これから\textcircled{\scriptsize1}\textcircled{\scriptsize4}, \textcircled{\scriptsize2}\times(-1)\textcircled{\scriptsize5}が一致し, \textcircled{\scriptsize3}\times(-1)\textcircled{\scriptsize6}が一致します。
以上より
\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta
\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta
\tan(180^{\circ}-\theta)=-\tan\theta
が得られます。

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