高校数学:三角比の相互関係①

こんにちは。今回は三角比の相互関係を書いておきますね。
高1のときに習うものを中心に書いておきます。

三角比の相互関係

覚えておきたい三角比の関係式
\textcircled{\scriptsize1}\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1
\textcircled{\scriptsize2}\ \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}
\textcircled{\scriptsize3}\ \tan^2\theta+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}

\textcircled{\scriptsize1}に関してはこちらの記事をご参照ください。
\textcircled{\scriptsize2}
\tan\theta=\dfrac{y}{x}=\dfrac{\dfrac{y}{r}}{\dfrac{x}{r}}=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}
として得られます。
また, この式から
\sin\theta=\tan\theta\cdot\cos\theta
という式が得られます。
\textcircled{\scriptsize3}\textcircled{\scriptsize1}の両辺を\cos^2\thetaで割れば
\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}
\left(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}
\tan^2\theta+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}
として公式が得られます。
また, \textcircled{\scriptsize3}を変形すると
\cos^2\theta=\dfrac{1}{\tan^2\theta+1}
という式が得られます。
この式変形のとき, 知っておくと便利なテクニックは
A=\dfrac{C}{B}という等式で. AとBを入れ替えても等式は成り立つというものです。つまり,
A=\dfrac{C}{B}\Longrightarrow B=\dfrac{C}{A}
これは, 知っておくと便利です。

知っておくと便利なテクニック
A=\dfrac{C}{B}\Longrightarrow B=\dfrac{C}{A}
これの基本として,
\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}\Longrightarrow AD=BC, \dfrac{A}{C}=\dfrac{B}{D}など
があることを知っておきましょう。

例題をやってみよう

例題1:\sin\theta=\dfrac{4}{5}のとき, \cos\theta, \tan\thetaを求めなさい。ただし, 0^{\circ}\leqq\theta\leqq180^{\circ}とする。
解法:まず, \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\sin\theta=\dfrac{4}{5}を代入すると,
\left(\dfrac45\right)^2+\cos^2\theta=1
\cos^2\theta=1-\dfrac{16}{25}
\cos^2\theta=\dfrac{9}{25}
\cos\theta=\pm\dfrac35\cdots\textcircled{\scriptsize1}
\cos\theta=\dfrac35の場合
\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac45\div\dfrac35=\dfrac43
\cos\theta=-\dfrac35の場合
\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac45\div\left(-\dfrac35\right)=-\dfrac43
\textcircled{\scriptsize1}で答えが2つあるのは, 0^{\circ}\leqq\theta\leqq180^{\circ}の範囲では, 鋭角(0<x<90)と鈍角(90<x<180)の2つあるから。

例題2:\cos\theta=-\dfrac{1}{3}のとき, \sin\theta, \tan\thetaを求めなさい。ただし, 0^{\circ}\leqq\theta\leqq180^{\circ}とする。
解法:まず, \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\cos\theta=-\dfrac{1}{3}を代入すると,
\sin^2\theta+\left(-\dfrac13\right)^2=1
\sin^2\theta=1-\dfrac19
\sin^2\theta=\dfrac89
\sin\theta=\dfrac{2\sqrt2}{3}\cdots\textcircled{\scriptsize2}
\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{2\sqrt2}{3}\div\left(-\dfrac13\right)=-2\sqrt2
\textcircled{\scriptsize2}で答えが1つ(正だけ)なのは, 0^{\circ}\leqq\theta\leqq180^{\circ}の範囲では, \sin\theta\geqq0\ (y\geqq0)だから。

例題3:\tan\theta=-\dfrac{2}{3}のとき, \cos\theta, \sin\thetaを求めなさい。ただし, 0^{\circ}\leqq\theta\leqq180^{\circ}とする。
解法:\tan\thetaが与えられたときは,
\tan^2\theta+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}
\cos^2\theta=\dfrac{1}{\tan^2\theta+1}としてを使うと便利です。
この式に\tan\theta=-\dfrac{2}{3}を代入すると,
\cos^2\theta=1\div\left\{\left(-\dfrac23\right)^2+1\right\}
\cos^2\theta=1\div\dfrac{13}{9}
\cos^2\theta=\dfrac{9}{13}
\tan\theta<0より, \cos\theta<0だから,
\cos\theta=-\dfrac{3}{\sqrt{13}}
\sin\theta=\tan\theta\cdot\cos\thetaより,
\sin\theta=-\dfrac23\times\left(-\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{13}}

以上になります。

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