高校数学:2次関数の場合分け・軸が移動する場合

こんにちは。相城です。高校生になってつまづきやすい1つが, この2次関数の場合分けです。今回は定義域が固定で, 軸が移動してくる場合を書いてみたいと思います。グラフ画像はイメージです。
以下, 例題を見ながら場合分けの方法を書いていきますね。

最小値の3パターン

例題:2次関数y=x^2-2ax-a\ (0\leqq x\leqq 2)の最小値を求めなさい。
まず, 式を平方完成すると,
y=(x-a)^2-a^2-a
となるので, 2次関数の軸はx=aということが分かります。軸が文字(変数)になるので, この軸がどこにあるかで, 最小値をとるxの値が変わってきます。結論から言うと, この場合, 2次関数の軸が定義域の左側, 内側, 右側の3パターンで分けて考えます。
場合分け①:a<0(軸が定義域の左側にあるとき)

最小値はx=0のときなので, y=x^2-2ax-ax=0を代入すると, 最小値は-aとなります。

場合分け②:0\leqq a\leqq 2(軸が定義域の内側(両端含む)にあるとき)

最小値はx=aのときなので, この場合は平方完成した式に代入するのが手っ取り早いので, y=(x-a)^2-a^2-ax=aを代入すると, 最小値は-a^2-aになります。

場合分け③:a>2(軸が定義域の右側にあるとき)

最小値はx=2のときなので, y=x^2-2ax-ax=2を代入すると, 最小値は-5a+4となります。

場合分けと最小値をとるxの値を表にすると以下のようになります。

最大値の3パターン

例題:2次関数y=x^2-2ax-a\ (0\leqq x\leqq 2)の最大値を求めなさい。
まず, 式を平方完成すると,
y=(x-a)^2-a^2-a
となり, 最小値と同じように, 軸x=aの場合分けを行っていきます。
ただ, 場合分けの方法は, 最小値と全く同じというわけではありません。よく図を見ていると, 最大値をとるxの値は, 軸x=aが定義域のちょうど真ん中のx=1より小さいときまでは, x=2で最大値をとり, 次に軸x=ax=1と一致するときx=0, x=2で最大値が一致し, 軸x=ax=1より大きいときx=0で最大値をとるようになるので, その3パターンで場合分けします。

場合分け①:a<1(軸が定義域の真ん中より左側にあるとき)

最大値はx=2のときなので, y=x^2-2ax-ax=2を代入すると, 最大値は-5a+4となります。

場合分け②:a=1(軸が定義域の真ん中と一致するとき)

y=x^2-2ax-aa=1なので, y=x^2-2x-1になります。x=0, 2で同じ値をとるので, 求めやすい方を代入(x=0を代入)して, 最大値は-1となります。

場合分け③:a>1(軸が定義域の真ん中より右側にあるとき)

最大値はx=0のときなので, y=x^2-2ax-ax=0を代入すると, 最大値は-aとなります。

場合分けと最大値をとるxの値を表にすると以下のようになります。

最大・最小値の5パターン

例題:2次関数y=x^2-2ax-a\ (0\leqq x\leqq 2)の最大値を求めなさい。
この問題で難しいのは, このように最小値と最大値をまとめて問われる場合で, この場合, 最大5パターンに分けます。分け方は, これまで書いてきた最小値と最大値を組み合わせた場合なので, それぞれで場合分けを行った, a=0, 1, 2,それ以外で範囲を分けます。すると, 以下の5パターンに分類されます。

軸が入る場所を順に図で表すと以下のようになります。

これが最大5パターンになる分け方です。以下に5パターンを簡単に記しておきます。グラフはイメージを掴むためのもので正確でありません。

場合分け①:a<0のとき

最小値:x=0のとき, -a
最大値:x=2のとき, -5a+4

場合分け②:0\leqq a<1のとき

最小値:x=aのとき, -a^2-a
最大値:x=2のとき, -5a+4

場合分け③:a=1のとき (軸と定義域の中心が一致するとき)
y=x^2-2x-1=(x-1)^2-2

最小値:x=1のとき, -2
最大値:x=0, 2のとき, -1

場合分け④:1<a\leqq 2のとき

最小値:x=aのとき, -a^2-a
最大値:x=0のとき, -a

場合分け⑤:a>2のとき

最小値:x=2のとき, -5a+4
最大値:x=0のとき, -a

以上になります。

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