高校数学：2次関数の場合分け・軸が移動する場合

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こんにちは。相城です。高校生になってつまづきやすい1つが, この2次関数の場合分けです。今回は定義域が固定で, 軸が移動してくる場合を書いてみたいと思います。グラフ画像はイメージです。
以下, 例題を見ながら場合分けの方法を書いていきますね。

最小値の3パターン

例題：2次関数 $y=x^2-2ax-a\ (0\leqq x\leqq 2)$ の最小値を求めなさい。
まず, 式を平方完成すると,
$y=(x-a)^2-a^2-a$
となるので, 2次関数の軸は $x=a$ ということが分かります。軸が文字(変数)になるので, この軸がどこにあるかで, 最小値をとる $x$ の値が変わってきます。結論から言うと, この場合, 2次関数の軸が定義域の左側, 内側, 右側の3パターンで分けて考えます。
場合分け①： $a<0$ (軸が定義域の左側にあるとき)

最小値は $x=0$ のときなので, $y=x^2-2ax-a$ に $x=0$ を代入すると, 最小値は $-a$ となります。

場合分け②： $0\leqq a\leqq 2$ (軸が定義域の内側(両端含む)にあるとき)

最小値は $x=a$ のときなので, この場合は平方完成した式に代入するのが手っ取り早いので, $y=(x-a)^2-a^2-a$ に $x=a$ を代入すると, 最小値は $-a^2-a$ になります。

場合分け③： $a>2$ (軸が定義域の右側にあるとき)

最小値は $x=2$ のときなので, $y=x^2-2ax-a$ に $x=2$ を代入すると, 最小値は $-5a+4$ となります。

場合分けと最小値をとる $x$ の値を表にすると以下のようになります。

最大値の3パターン

例題：2次関数 $y=x^2-2ax-a\ (0\leqq x\leqq 2)$ の最大値を求めなさい。
まず, 式を平方完成すると,
$y=(x-a)^2-a^2-a$
となり, 最小値と同じように, 軸 $x=a$ の場合分けを行っていきます。
ただ, 場合分けの方法は, 最小値と全く同じというわけではありません。よく図を見ていると, 最大値をとる $x$ の値は, 軸 $x=a$ が定義域のちょうど真ん中の $x=1$ より小さいときまでは, $x=2$ で最大値をとり, 次に軸 $x=a$ が $x=1$ と一致するとき $x=0, x=2$ で最大値が一致し, 軸 $x=a$ が $x=1$ より大きいとき $x=0$ で最大値をとるようになるので, その3パターンで場合分けします。

場合分け①： $a<1$ (軸が定義域の真ん中より左側にあるとき)

最大値は $x=2$ のときなので, $y=x^2-2ax-a$ に $x=2$ を代入すると, 最大値は $-5a+4$ となります。

場合分け②： $a=1$ (軸が定義域の真ん中と一致するとき)

$y=x^2-2ax-a$ の $a=1$ なので, $y=x^2-2x-1$ になります。 $x=0, 2$ で同じ値をとるので, 求めやすい方を代入( $x=0$ を代入)して, 最大値は $-1$ となります。

場合分け③： $a>1$ (軸が定義域の真ん中より右側にあるとき)

最大値は $x=0$ のときなので, $y=x^2-2ax-a$ に $x=0$ を代入すると, 最大値は $-a$ となります。

場合分けと最大値をとる $x$ の値を表にすると以下のようになります。

最大・最小値の5パターン

例題：2次関数 $y=x^2-2ax-a\ (0\leqq x\leqq 2)$ の最大値を求めなさい。
この問題で難しいのは, このように最小値と最大値をまとめて問われる場合で, この場合, 最大5パターンに分けます。分け方は, これまで書いてきた最小値と最大値を組み合わせた場合なので, それぞれで場合分けを行った, $a=0, 1, 2,$ それ以外で範囲を分けます。すると, 以下の5パターンに分類されます。