高校数学:二重根号のお話

こんにちは。相城です。今回は二重根号について書いていきます。

二重根号のなぜ

例えば, 二重根号\sqrt{5+2\sqrt{6}}をはずしなさい。
とあった場合, 答えはなぜ\sqrt{3}+\sqrt{2}になるのでしょうか。
逆を考えながら説明してみましょう。
逆というのは,
\sqrt{3}+\sqrt{2}を二重根号で表わしてみましょう。
つまり, こうです。

    \begin{align*}\sqrt{3}+\sqrt{2}&=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}\\&=\sqrt{(3+2\sqrt{3\times2}+2)}\\&=\sqrt{(3+2+2\sqrt{3\times2})}\cdots\textcircled{\scriptsize1}\\&=\sqrt{5+2\sqrt{6}}\cdots\textcircled{\scriptsize2}\end{align*}


ここでポイントなのは\textcircled{\scriptsize1}と問題の\textcircled{\scriptsize2}の関係です。
5はある2数(ここでは3と2)の和で構成され2\sqrt{6}の2は2倍を意味し, \sqrt{\hspace{3mm}}中の6はある2数(ここでは3と2)の積で与えられます。
つまり, 5+2\sqrt{6}\sqrt{3}+\sqrt{2}の平方(2乗)で得られることが分かります。したがって,

    \begin{align*}\sqrt{5+2\sqrt{6}}&=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}\\&=\sqrt{3}+\sqrt{2}\end{align*}


となります。
ちなみに, 引き算の場合の二重根号の方が間違えやすく,
\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}=\sqrt{2}-\sqrt{3}
ではありません。これでは\sqrt{2}-\sqrt{3}<0となってしまうので, 話がおかしくなります。
この場合, 正しくは
\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}
となります。根号の中は正の数でなくてはなりませんからね。気を付けていきましょう。
これらを一般化すると以下の公式が得られます。

二重根号の公式
\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}
\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\ (a>b)

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