高校数学:2次関数の平行移動②グラフの平行移動

こんにちは。相城です。今回は2次関数を実際に平行移動させていきましょう。仕組み的には頂点を移動させれば, グラフは平行移動しますのでそのあたりをみて, 最終的な解法にたどり着ければと思います。

具体例を見ていこう

具体的な数字で追っかけてから文字で置いていきますね。
先ずこの例題から。
y=2(x-2)^2+3のグラフをx軸方向に3, y軸方向に-2平行移動した2次関数の式を求めなさい。
頂点は(2, 3)です。ですから, この頂点をx軸方向に3, y軸方向に-2平行移動させれば解答を得ます。
したがって, 移動後の頂点は(2+3, 3-2)=(5, 1)
よって求める放物線の式は
y=2(x-5)^2+1
(x-5)^2の前にある2を忘れたり, 数字を変えないようにね。グラフの形が変わってしまいます。
ただ, この方法では頂点が分かっていないとできません。しかし, 次に示す平行移動の考えを用いれば, その問題は解決できます。

平行移動させよう

この移動をy=2(x-2)^2+3から直接得るには, 次のようにすればよい。
xx-3を代入し, yy+2を代入する。
y+2=2\{(x-3)-2\}^2+3
y=2(x-5)^2+1\cdots

これが可能なのは, y=f(x)のグラフ上の座標を(x, y)とし, x軸方向にm, y軸方向にn移動させた座標を(X, Y)とると,
X=x+m, Y=y+nとなり,
それぞれ, x, yについて解くと,
x=X-m, y=Y-nとなり, y=f(x)に代入すると,
Y-n=f(X-m)
という式が得られるからです。

このことはy=ax^2+bx+cという2次関数をx軸方向にm, y軸方向にn平行移動させたいなら, 平方完成しなくても
y-n=a(x-m)^2+b(x-m)+c
とすればよいことがわかります。

例題をやってみよう

例題:関数y=x^2-3x+5x軸方向に-2, y軸方向に3平行移動させなさい。
解答:
y-3=(x+2)^2-3(x+2)+5
y=x^2+4x+4-3x-6+8
=x^2+x+6
y=x^2+x+6\cdots

グラフの平行移動

グラフの平行移動
関数y=f(x)x軸方向にm, y軸方向にn平行移動させた関数は
y-n=f(x-m)
で求まります。

直線:y=ax+b\Rightarrow y-n=a(x-m)+b
2次関数:y=a(x-p)^2+q\Rightarrow y-n=a\{(x-m)-p\}^2+q
円:x^2+y^2=r^2\Rightarrow (x-m)^2+(y-n)^2=r^2
など

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