TikZ:高校数学:正弦定理とその証明

こんにちは。相城です。今回は正弦定理について書いておきます。

正弦定理とは

正弦定理

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△ABCのBC=a, CA=b, AB=c, △ABCの外接円の半径をRとするとき,
\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R
が成り立つ。これを正弦定理という。

正弦定理の証明

パターン1:\thetaが鋭角の場合(△ABCが鋭角三角形)

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BA'が円Oの直径2Rとなるように円周上にA'をとると, 円周角の定理より, \angle{\text{BAC}}=\angle{\text{BA}'\text{C}}であり, \angle{\text{BCA}'}=90^{\circ}となる。このとき, BA'=2R, BC=aなので, △A'BCに三角比を用いると,
\sin A'=\dfrac{a}{2R}
これから
\dfrac{a}{\sin A'}=2R
A=A'なので
\dfrac{a}{\sin A}=2R
B, Cについても同様のことが言えるので,
\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R
が成り立つ。

パターン2:\thetaが鈍角の場合(△ABCが鈍角三角形)

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\thetaが鈍角の場合, BDが円Oの直径2Rとなるように, 円周上に点Dをとり, 円Oに内接する四角形ABDCをつくって考える。
このとき, 円に内接する四角形の内角の関係より, \angle{\text{BAC}}=\thetaとすると, \angle{\text{BDC}}=180^{\circ}-\thetaである。また, 円周角の定理より, \angle{\text{BCD}}=90^{\circ}となる。このとき, BD=2R, BC=aなので, △BDCに三角比を用いると,
\sin (180^{\circ}-\theta)=\dfrac{a}{2R}
\sin (180^{\circ}-\theta)=\sin\thetaであるから,
\sin\theta=\dfrac{a}{2R}
よって,
\dfrac{a}{\sin \theta}=2R
\theta=Aなので,
\dfrac{a}{\sin A}=2R
B, Cについては鋭角なので, 前途したように成り立つことが知れているので,
\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R
が成り立つ。

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