高校数学:相加相乗平均の秘密?

こんにちは。相城です。いきなり問題です。

x>0とするとき, x+\dfrac{9}{x}の最小値を求めなさい。

こんな問題が出されたら相加相乗平均を用いて求めます。

相加相乗平均って公式で

公式:相加相乗平均
a>0, b>0とするとき, \dfrac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}
実際は
a+b\geqq2\sqrt{ab}
で使うことが多いかな?

が成り立ちます。って出てくるんだけど

そもそも何でa>0, b>0じゃなきゃいけないのか。とか何でこれが成り立つのか?っていうと

そもそも大元の式は,
(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geqq0じゃないでしょうか。
実際これを展開していくと,

    \[a-2\sqrt{ab}+b\geqq0\]


    \[a+b\geqq2\sqrt{ab}\]


ってなりますよね。
もちろんこのとき, 根号の中は正の数なので, a>0, b>0で, 等号成立は, \sqrt{a}=\sqrt{b}のとき, すなわち, a=bのときとなります。

上の問題を解くと,
x+\dfrac{9}{x}\leqq2\sqrt{x\cdot\dfrac{9}{x}}=6
等号成立は
x=\dfrac{9}{x}のときで, x>0より, x=3
よって, この式はx=3のとき, 最小値6になる。

お粗末でした。

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