高校数学:余弦定理ができるまで

こんにちは。相城です。今回は余弦定理ができるまで。ということでお話ししていきます。

余弦定理

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△ABCのBC=a, CA=b, AB=cとするとき,
a^2=b^2+c^2-2bc\cos\text{A}
b^2=a^2+c^2-2ac\cos\text{B}
c^2=a^2+b^2-2ab\cos\text{C}
が成り立つ。これを余弦定理という。

余弦定理ができるまで(θ:鋭角)

どうやって余弦定理ができるの?
余弦定理は中学3年生で習った三平方の定理の拡張版だと思ってください。
三平方の定理は\theta=90^{\circ}のときだけでしたが, 余弦定理では\theta0^{\circ}< \theta < 180^{\circ}
まで拡張できます。
次の余弦定理①を下の図を使って証明しましょう。ただし, \thetaは鋭角とします。

    \[a^2=b^2+c^2-2bc\cos\theta\cdots\textcircled{\scriptsize 1}\]


△ABCで, \angle{\text{BAC}}=\thetaとおき, 点Cから辺ABにおろした垂線と
辺ABの交点をDとする。このとき, 右の図のように, AD=b\cos\theta, CD=b\sin\thetaとおけ, BD=c-b\cos\thetaとなる。ここで, △BCDで三平方の定理を用いると,
a^2=(c-b\cos\theta)^2+b^2\sin^2\theta
=c^2-2bc\cos\theta+b^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta
=c^2-2bc\cos\theta+b^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)
=b^2+c^2-2bc\cos\theta
\thetaは鋭角で行いましたが, 鈍角でも同じ結果が得られます。次にそれを示しました。

余弦定理ができるまで(θ:鈍角)

\thetaが鈍角の場合

頂点BからCAの延長線上に垂線を下ろして, 交点をDとする。このとき, 図のように, \angle{\text{BAD}}=180^{\circ}-\thetaより, AD=c\cos(180\Deg-\theta), BD=c\sin(180-\theta)となります。
ここで,

    \[\sin(180\Deg-\theta)=\sin\theta,\ \cos(180\Deg-\theta)=-\cos\theta\]


である。これを適用し, △BCDで三平方の定理を用いると,
a^2=(b-c\cos\theta)^2+c^2\sin^2\theta
=b^2-2bc\cos\theta+c^2\cos^2\theta+c^2\sin^2\theta
=b^2-2bc\cos\theta+c^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)
=b^2+c^2-2bc\cos\theta


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