高校数学:円と直線の共有点の個数の攻め方

こんにちは。高校数学から円と直線の共有点の個数(位置関係)の解き方を2通りご紹介します。例題を解きながら見ていきたいと思います。

:円x^2+y^2=9・・・①と直線y=x-3a・・・②との共有点の個数をaの値によって分類せよ。

解法1:代入して判別式

まず解法の1つとして、円の式に直線の式を代入し、二次方程式をつくり、実数解の個数で共通点を調べる方法があります。
①に②を代入すると
x^2+(x-3a)^2=9
2x^2-6ax+9a^2-9=0
i ) 判別式D>0のとき
36a^2-4\cdot2\cdot(9a^2-9)>0
36a^2-72a^2+72>0
-36a^2>-72
a^2<2
-\sqrt{2}<a<\sqrt{2}
このとき共有点は2個
ii ) 判別式D=0のとき
a^2=2
a=\pm\sqrt{2}
このとき共有点は1個
iii) 判別式D<0のとき
-36a^2<-72
a^2>2
a<-\sqrt{2}a>\sqrt{2}
このとき共有点は0個

解法2:中心から直線までの距離を調べる

解法1は高1で習った判別式を用いる方法でなじみやすいのですが、これは円の式や直線の式がシンプルな場合は有効なときが多い気がします。今から紹介する方法も知っておくことで、解法の懐が広がりますし、慣れてくるとこちらの方が有効だったりするので、是非マスターしてください。

円の中心(0, 0)から直線までの距離は、直線の式を-x+y+3a=0とすると、
\dfrac{|3a|}{\sqrt{2}}・・・(A)
i ) (A)が円の半径3より短いとき、共有点は2個存在するので、次の式が成り立つ。
\dfrac{|3a|}{\sqrt{2}}<3
-3<\dfrac{3a}{\sqrt{2}}<3
よって、-\sqrt{2}<a<\sqrt{2}のとき、共有点は2個
ii) (A)が円の半径3のとき、共有点は1個なので、次の式が成り立つ。
\dfrac{|3a|}{\sqrt{2}}=3
\dfrac{3a}{\sqrt{2}}=\pm3
よって、a=\pm\sqrt{2}のとき、共有点は1個
iii) (A)が円の半径より長いとき、共有点は0個なので、次の式が成り立つ。
\dfrac{|3a|}{\sqrt{2}}>3
\dfrac{3a}{\sqrt{2}}<-3これより、a<-\sqrt{2}
\dfrac{3a}{\sqrt{2}}>3これより、a>\sqrt{2}
よって、a<-\sqrt{2}a>\sqrt{2}のとき共有点は0個

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