高校数学:恒等式の攻め方

こんにちは。相城です。さて、高校数学で恒等式って高2で出てくるんですが、それの解き方を2通りご紹介します。

まず、恒等式ってどんなものかというと、定数abとし、
ax+b=3x-5・・・①
という等式があります。xどんなにどんな値を代入してもこの等式が成り立つというとき、この等式を恒等式と言います。

この定数abの値を見つける方法に、係数比較法数値代入法があります。

係数比較法

係数比較法はその名の通り、係数を比較して答えることで、①の左辺と右辺の係数を比較して、a=3b=-5となります。

数値代入法

上記の恒等式の説明にもあるように、どんな値を代入しても等式が成り立つのだから、両辺のxx=0を代入すると、b=-5x=1を代入すると、a+b=-2b=-5より、a-5=-2a=3となり、a=3b=-5となります。

例題を1つ解いて終わりにしましょう。
例題 次の恒等式を満たす、定数abcを求めなさい。
x^3+2x^2-3=(x^2+2x-1)(x-a)+bx-c

係数比較法


右辺を展開すると
x^3-ax^2+2x^2-2ax-x+a+bx-c
=x^3+(2-a)x^2+(-1-2a+b)x+a-c
これを左辺の係数と比較すると、
2-a=2・・・①
-1-2a+b=0・・・②
a-c=-3・・・③
①より、a=0これと②、③より、b=1c=3
よって、a=0b=1c=3

数値代入法


未知数が3つあるので、xには異なる3つの数を代入し、最低3つの式をつくることが望ましい。代入する値は問題によるが計算しやすい値が好ましい。
x=0とした場合
a-c=-3・・・①
x=1とした場合
0=2(1-a)+b-c
-2a+b-c=-2・・・②
x=-1とした場合
-2=-2(-1-a)-b-c
2a-b-c=-4・・・③
②+③より、
-2c=-6c=3これを①に代入し、a=0
a=0c=3と②よりb=1
よって、a=0b=1c=3

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