高校数学:交点を通る直線(束)・GeoGebra付

こんにちは。相城です。2直線の交点が存在するとき、その交点を通る直線は無数に存在します。それらを直線の束と呼びます。一般的には一変数kを用いて表されることが多いです。それには問題点があるのですが以下に例を示し、お話しします。円に関しては下部のリンクまたはこちらからどうぞ。
:直線-3x+y+5=0と直線x+y+1=0の交点を通る直線で(0, 0)を通るものを求めなさい。

一変数の場合の問題点

参考書などで見かける形は一般的には変数kを用いて、以下のように表されることが多いです。
(-3x+y+5)+k(x+y+1)=0・・・①
この直線が(0, 0)を通るので、それを代入すると、
5+k=0k=-5となり、
(-3x+y+5)-5(x+y+1)=0
y=-2xとなります。
①の式で問題になるのは、2直線の交点(1, -2)を通る直線がすべて完全には表せないことに問題があるのです。実は表せない式というのが1つあって、実はkの後ろにあるかっこの中のx+y+1=0だけが表せません。実際x+y+1=0上の座標を代入するとkの係数が0となって、等式が成立しません。しかし、別にこれが表せなくても一意性は失われないということで、参考書などでは①の表記になっています。ですから、この解き方が間違っているというお話ではないので、ご理解いただけたらと存じます。

完全な形での表し方

では、完全な形での表現はどうかと申しますと、
s(-3x+y+5)+t(x+y+1)=0・・・②
という形です。これに①のときと同様(0, 0)を代入すると、
5s+t=0
これを満たす(s, t)は無数に存在しますが、
s : t=1 : -5なので、適当に値を決めるか、t=-5sとして代入しても
y=-2xが得られます。
ちなみに①、②式でもどちらでもxの項が消えるように変数の値を決める(k=3, s=1, t=3)と、y=-2と交点のy座標が求まる。同様にyの項が消えるように変数の値を決める(k=-1, s=1, t=-1)と、x=1と交点のx座標が求まる。

GeoGebraで動かしてみよう

以下にGeoGebraでアニメーションできるようにしています。ボックスに値を入れるとそのときの束が表されます。バーを動かしたりしてみてください。アニメーションしたいときは左下の▶ボタンを押してみてください。束の式はs(-3x+y+5)+t(x+y+1)=0です。-20\leqq s\leqq20-20\leqq t\leqq20ですので、すべて表せていないと思いますが、イメージをつかんでくださればと思います。デフォルトは例題の答えy=-2xに設定しています。

高校数学:2円の交点を通る図形(円束)・GeoGebra付

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