整数問題・整数解を求める①

こんにちは。相城です。最近整数問題ばっかりですが、これも勉強のためです。それではいきましょう。

(1) 5x+2y=1を満たす整数x, yの組を1つ見つけよ。
(2) 5x+2y=1を満たすすべての整数解を求めよ。
(3) 7x-3y=1を満たす整数x, yの組を1つ見つけよ。
(4) 7x-3y=1を満たすすべての整数解を求めよ。

答え
(1) (x, y)=(1, -2)
(2) 5x+2y=15\cdot1+2\cdot(-2)=1を筆算で引き算すると、
5(x-1)+2(y+2)=0となる。5と2は互いに素だから、
x-1=2k,\ y+2=-5k(kは整数)とおける。よって求める整数解は
x=2k+1,\ y=-5k-2(kは整数)
(3) (x, y)=(1, 2)
(4) 7x-3y=17\cdot1-3\cdot2=1を筆算で引き算すると、
7(x-1)-3(y-2)=0となる。7と3は互いに素だから、
x-1=3k,\ y-2=7k(kは整数)とおける。よって求める整数解は
x=3k+1,\ y=7k+2(kは整数)

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