整数問題・余り①(合同式)

こんにちは。相城です。今回は合同式の問題ですが、合同式は使わず答えを書いていきます。それでは問題です。

(1) 21^{100}を5で割った余りを求めよ。
(2) 3^{200}を8で割った余りを求めよ。
(3) 4^{100}を13で割った余りを求めよ。
(4) 2^{300}を9で割った余りを求めよ。
(4) 33^{30}を90で割った余りを求めよ。(類愛媛大)

答え
(1) 21\div5の余りが1なので求める余りは1^{100}を5で割った余りになる。よって1
(2) 3^{200}=9^{100}となる。9\div8の余りが1なので求める余りは、
1^{100}を8で割った余りになる。よって1
(3) 4^{100}=16^{50}で、16\div13の余りは3となるので、求める余りは、3^{50}を13で割った余りになる。
3^{50}=\left(3^3\right)^{16}\cdot3^2となる。3^3を13で割った余りは1だから、求める余りは1^{16}\cdot9を13で割った余り。よって9
(4) 7^{150}=49^{75}となる。49を15で割った余りは4なので、求める余りは4^{75}を15で割った余りとなる。4^{75}=16^{37}\cdot4、16を15で割った余りは1なので、求める余りは1^{37}\cdot4を15で割った余り。よって4
(5) 33^{30}=1089^{15}、1089を90で割った余りは9なので、求める余りは、9^{15}を9で割った余り。9^{15}=729^5なので、729を90で割ると余りが9。したがって、求める余りは9^5を90で割った余りとなり、9^5=729\cdot9^2で、729を90で割った余りは9なので、結局9^3を90で割ったのが求める余り。よって9


コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)