区分求積法で実際に計算すると

こんにちは。相城です。

今回は前回の区分求積法は長方形がグラフの上からと下からの評価によるものでしたが、今回はそれとは異なる長方形の左端がグラフに乗っかる形での評価と実際の手計算が一致することを確認したのでご報告します。

関数は

    \[f(x)=-x^3+3x\]

で積分区間は03で行います。

実際積分計算をしてみると

    \[\int_{0}^{3}f(x)=6.75\]

この積分を区分求積により、最大100区間に分けて長方形の面積の総和を求めてみました。手計算での結果を求める前に区分求積法の公式を確認しておきましょう。以下積分区間がabの場合

\displaystyle \lim_{n \to \infty}\displaystyle \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x=\int_{a}^{b}f(x)dx,\ \Delta x=\displaystyle \frac{b-a}{n},\ x_k=a+k\Delta x

今回はa=0, b=3, n=50, 100でて計算を行ってみたいと思います。手元にあるiphoneの電卓を使います。もちろん通常の電卓仕様で使います。時間の許す方は電卓使っていいので、n=50, 100の値を求めてみてください。

まずn=50とする前に、上の公式の\limを取り除き、\Delta x=\displaystyle \frac{3}{n}, x_k=\displaystyle \frac{3}{n}kとして、整理していきます。

\displaystyle \frac{3}{n}\displaystyle \sum_{k=1}^n \left\{-\left(\frac{27k^3}{n^3}\right)+3\cdot\left(\frac{9k^2}{n^2}\right)\right\}

=\displaystyle-\frac{81}{n^4}\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3+\frac{81}{n^3}\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2

=\displaystyle-\frac{81(n+1)^2}{4n^2}+\displaystyle \frac{27(n+1)(2n+1)}{2n^2}

=\displaystyle \frac{1}{4n^2}\left\{-81(n+1)^2+54(n+1)(2n+1)\right\}\cdots(1)

(1)の式にn=50を代入すると

\displaystyle \frac{-81\cdot51^2+54\cdot51\cdot 101}{4\cdot 50^2}=6.7473

次にn=100を代入すると

\displaystyle \frac{-81\cdot 101^2+54\cdot101\cdot201}{4\cdot 100^2}=6.749325

実際に下の動画図の区分求積法でn=50, 100のときの値を確認してみてくださいね。それでは。

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